逻辑符号

卓里奇数学分析第一章§1内容。

“如果采用适合于发现的记号，……那么，思考工作就能得到惊人的简化。” ——Leibniz

“数学是把不同实体统一命名的艺术。” ——Poincaré

“自然界这部巨著是用数学语言写成的。” —— Galileo

这些都是从书中摘录的，我觉得这些名言挺有启发性的，说明符号之于数学的重要性。数学分析的摩天大楼就建立在这些符号和逻辑之上。当然也不应该过度追求符号而抛弃了理解和效率。牛顿在十七十八世纪用微积分解决了许多物理问题，而微积分上数学的严谨性直到19世纪之后才得到了严格的证明。(物理win)

“当你要求一只蜈蚣解释他是怎样控制那么多条腿的时候，他早已学会走路了。”

与、或、非、蕴含、等价五个基本逻辑符号就不用多说，我提一下他们的性质和规律。以及课后习题中一些逻辑规律，值得探究。

优先次序

$\neg,\wedge,\vee,\Rightarrow,\Leftrightarrow$

定义符号

$:=$

书中用了两个例子，第一个是引进定义：

$\int_{a}^{b}f(x)dx := \lim_{\lambda(P) \rightarrow 0} \sigma(f,p,\xi)$

第二个是引进简缩记法:

$\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i =: \delta(f,p,\xi)$

实际上这两个例子就定义了定积分符号$\int_{a}^{b}$（不严谨地说）。

特别注意

$A \Rightarrow B \Rightarrow C$ 是 $(A \Rightarrow B)\vee (B \Rightarrow C)$ 的缩写

若A始终为假，则 $(A \Rightarrow B)$ 总为真的，这一点确实有点反直觉，如果从思想政治书上的观点来讲，实践是检验认识的唯一标准，若A始终为假，则无法用实践检验。我个人还是比较赞同后面这个观点的。可能这个规定还有更深层次的原因吧。

符号是数学公理化的基础，也是是自己数学思考简化和严谨化的重要工具。

习题（一些有趣的规律探究）

a) & b)

$\begin{align} &\neg (A \wedge B) \Leftrightarrow \neg A \vee \neg B \\ &\neg (A \vee B) \Leftrightarrow \neg A \wedge \neg B \end{align}$

这两个式子也被称作德摩根律(De Morgan’s Laws),这些逻辑的证明完全可以借助真值表完全枚举来证明。

我也看到了B站宋浩老师用家长会的例子去解释这个定律：要求A和B不同时到，就是要么A不到要么B不到，这是第一个式子；要求A和B至少一个到，就是A和B不能都不到，这就是第二个式子。

$(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (\neg B \Rightarrow \neg A)$

这个式子可以叫做假言易位，也是“原命题为真，其逆否命题也为真。”这句话的意思。

原命题若为$(A \Rightarrow B)$，其逆命题为$(B \Rightarrow A)$，其否命题为$(\neg A \Rightarrow \neg B)$，其逆否命题为$(\neg B \Rightarrow \neg A)$。

d) & e)

$\begin{align} &(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow \neg A \vee B \\ &\neg (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow A \wedge \neg B \end{align}$

这两个式子叫做蕴含等值式，同样的用真值表就很好证明，我在晚上查到的一种理解方式：

“不听话就要挨打的意思” 等同于 “要么听话。要么挨打”，这是第一个式子的理解，同样的

至于第二个式子，我在试图把$\neg (A \Rightarrow B)$用实例来表示的时候遇到了困难，可能是自然语言描述这个式子不是很容易，不过可以可以通过等职演算推导第二个式子

先浅尝辄止把，写的第一篇笔记就花了这么大功夫，主要还是数学公式latex打的不太熟练，以后慢慢熟练吧。数理逻辑当然不止这些，还有什么范式等值演算以及其他一大堆规律。卓里奇这本数学分析也没有提到这么多，等到离散数学部分在研究这些吧。