集合

卓里奇数学分析第一章§2内容

数学分析是建立在严谨的数理逻辑基础上的，而集合论就是描述这种严谨的重要工具。许多重要概念（包括函数）都可以通过集合来给出严谨的定义。

本文主要讲述朴素集合论，集合的公理系统会后面出一章提到。

集合的概念

“所谓集合，是我们直观感到或意识到的，由确定的，彼此不同的对象联合成的整体。” —— Cantor

这句话不能被称作定义，因为它引用到了比集合更复杂且从未定义过的概念。我在书上貌似也没有找到关于“集合”的确切定义。或许是因为它作为一种公理性的存在，不需要我们精确定义就能被很好理解。那我们先把定义放在一旁，回顾一下高中的知识并把它拓展到本书中。

集合的三个性质

无序性
确定性
互异性

我就不像之前教科书那样再举出几个例子仔细说明集合的概念了，这些东西应该大家都知道。还有“罗素悖论”，这个东西在讲到集合论公理系统中再讨论吧。

值得一提的是，在朴素集合论（就是我们现在讲的集合论）中，“类”，“族”，“集体”，“组”等字眼，也作为“集合”的同义词使用。如在覆盖概念中会用到的“集合的集合”（set of set），如果叫“集集”就有点难绷了，所以一般称之为“集族”。

包含

组成集合的事物叫做集合的元素。
命题：x是集合X的元素。符号表示为

$x \in X$

其否命题为

$x \notin X$

另外的，若$\forall x((x\in A)\Leftrightarrow(x\in B))$，则称$A = B$.

我用符号再把高中学的集合的包含表示一下吧

$\begin{align} &(A \subset B) := \forall x((x \in A) \Rightarrow (x \in B)) \\ &(A = B) \Leftrightarrow (A \subset B)\wedge (B \subset A) \\ &(A \subsetneq B) := (A\subset B)\wedge (A \neq B) \end{align}$

集合的简单运算

高中就学过的子交并补，这里再补一个差集。（子集在上面）
设集合$A$与$B$都是集合$M$的子集.

$\begin{align} &A \cup B := \{x\in M |(x\in A)\vee(x\in B)\} \\ &A \cap B := \{x\in M |(x\in A)\wedge(x\in B)\} \\ &C_MA := \{x\in M |(x\notin A)\} \\ &A\setminus B := \{x\in A |(x\in A)\wedge(x\notin B)\} \end{align}$

差集的意思即是$A$中减去属于$B$的元素，也是比较好理解的。注意这里不要求A包含B。

德摩根律

在逻辑一章我也有提到这个：

$\begin{align} &\neg (A \wedge B) \Leftrightarrow \neg A \vee \neg B \\ &\neg (A \vee B) \Leftrightarrow \neg A \wedge \neg B \end{align}$

其在集合中的体现即为：

$\begin{align} &C_M(A\cap B) = C_MA \cup C_MB \\ &C_M(A\cup B) = C_MA \cap C_MB \end{align}$

数学会奖励保留对称性的人

集合的直积（笛卡尔积）

我们用圆括号$(x,y)$表示一组有序对$z$(其实就是平面上一个点)。其中$x$称作$z$的第一射影，$y$称$z$的第二射影。

$X\times Y := \{(x,y)|(x\in X)\wedge(y\in Y)\}$

可以理解为X中的元素和Y中的元素一一拿出来对应组成序对。例子：

$\{1,3,4\} \times \{2,4\} = \{(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(4,2),(4,4)\}$

乘法原理可以得到，$n$元集和$m$元集作直积，得到$mn$元集。

特别的，将两个垂直的数轴作直积，可得到平面直角坐标系（笛卡尔坐标系）。

尾声

关于朴素集合论就简单讲这么多，下面我来讲讲函数，它定义在集合和关系上可以给人一种新的视角去看待它。