函数

函数的概念很多书里（如同济版高数以及高中教科书等）都是先讲到“映射”，然后用“对映”的概念去描述映射，可是这里有一个问题，即引入了“对映”这一从未定义过的复杂概念。所以更合理的方式，是用集合论去定义函数。

我们先按书的顺序，用映射来描述一下。

映射

设有二集合 $X$ , $Y$ ，按照某种规律 $f$ ，对于 $x \in X$ ， $\exists! y \in Y$ 与 $x$ 对应，就称有定义在 $X$ 上而在 $Y$ 取值的映射。记为：

f : X \to Y, o r, X \overset{f}{⟶} Y

（!在这表示唯一，唯一性是映射的重要特性）

其中 $X$ 称映射的出发域， $y$ 称为映射的到达域。需要注意的是出发域不完全等于定义域，到达域也不完全等于值域

根据集合 $X$ ， $Y$ 的性质的不同，映射有不同的名字：函数、变换、射、算子、泛函等。

其中，函数表示数集到数集的映射，算子表示函数到函数的映射，泛函表示函数到数的映射。

满射，单射，双射

映射的定义域、值域

在出发域中取一集合 $D$ ， $\forall x \in D$ ，都 $\exists! y \in Y$ 与 $x$ 对应，则称 $D$ 为映射的定义域(Domain)，映射在 $D$ 的一切元素上取得的函数值 $f (x)$ 构成的集合 $R$ ，称其为映射的值域(Range)，即

f (X) := R = {y \in Y | \exists x ((x \in X) \land (y = f (x)))}

特别的，当映射的定义域等于出发域且值域等于到达域时，称之为“满射”

像、原像与层

当把函数 $f : X \to Y$ 叫做映射时，它在元素 $x \in D$ 上取的值 $f (x) \in R$ ,通常称为元素 $x$ 的像

对于集合 $A \subset D$ ， $A$ 中各点 $x$ 的像所组成的集叫做A在映射 $f : X \to Y$ 上的像

对于集 $B \subset Y$ ，则把 $X$ 中其像属于 $B$ 的那些元素的集：

f^{- 1} (B) := {x \in X | f (x) \in B}

称为 $B$ 的原像或全原像。

单射

如果对 $X$ 中的任何元素 $x_{1}, x_{2}$ ，有

(f (x_{1}) = f (x_{2})) \Rightarrow (x_{1} = x_{2})

即不同的元素有不同的像，就说 $f$ 是单射（或嵌入、内射）

双射

如果f既是单射，又是满射，就称f是双射（或一一映射、双方单值映射）

逆映射

若映射 $f$ 是双射，即集 $X$ 与集 $Y$ 间双方单值对应，那么自然有映射

f^{- 1} : Y \to X

这个映射叫做原映射f的逆映射

虽然符号表示与原像类似，但
只有双射有逆映射，而原像任何映射都有

复合映射

映射的复合运算，一方面是产生新映射的丰富源泉，另一方面又是将复杂映射分解为简单映射的一种方法

若有二映射 $f : X \to Y$ 与 $g : Y \to Z$ ，且 $f$ 定义在 $g$ 的值域上，则可用公式

(g \circ f) (x) := g (f (x))

确定 $X$ 上的新映射

g \circ f : X \to Z

所建立的映射叫做映射 $f$ 与映射 $g$ （从右至左）的复合映射

可以发现，映射的复合可满足结合律：

(h \circ (g \circ f)) (x) = h (g (f (x))) = (h \circ g) (f (x)) = ((h \circ g) \circ f) (x)

但一般不满足交换律：

g \circ f \neq f \circ g

恒等映射与互逆映射

如果映射 $f : X \to X$ 把 $X$ 的每个元映成自身，那么就把 $f$ 记作 $e_{x}$ ，称为集 $X$ 的恒等映射

引理

(g \circ f = e_{x}) \Rightarrow (g 是 满 射) \land (f 是 单 射)

$◂$
若映射 $f$ 不是单射，则 $\exists x_{1}, x_{2} \in X, (f (x_{1}) = f (x_{2})) \Rightarrow x_{1} \neq x_{2}$ 即同一像的原像不唯一，那将原像映射回去时，必有 $x_{1}$ 映射不到或 $x_{2}$ 映射不到，与恒等映射的定义冲突，故 $f$ 为单射.

若 $f$ 的值域是 $Y$ ，其又是单射，故 $g : Y \to X$ ，为满射。
$▸$

定理

(f : X \to Y, g : Y \to X 是 互 逆 的 双 射) \Leftrightarrow (g \circ f = e_{x}) \land (f \circ g = e_{x})

$◂$
由引理可知， $f, g$ 都是双射，复合之后得到 $e_{x}$ 又保证了互逆性。
$▸$

关系

前面说了，映射（函数）的概念可以用集合论来描述。为此，我们要先引入“关系”这一概念：

关系的概念

由一些序对 $(x, y)$ 组成的任一集，叫做一个关系 $R$

构成 $R$ 的所有序对的第一个元素组成的集 $X$ 叫做关系 $R$ 的定义域，第二个组成的集叫做关系$$的值域
类似映射，它也有出发域和到达域的定义。

“关系”其实是一个集合，有点好玩吧。

实际上，可以把关系理解为 $X$ 与 $Y$ 的笛卡尔积的子集。

常常把 $(x, y) \in R$ 写成 $x R y$ ，并说 $x$ 与 $y$ 用关系 $R$ 联系着

如果 $R \subset X^{2}$ ，就说关系 $R$ 在 $X$ 上给定。

有点抽象吧，下面我来举几个例子

实例

对角线

一般的，给定在 $X$ 上的关系 $R$ ，对角线定义为

Δ = {(a, b) \in X^{2} | a = b}

$a Δ b$ 表示 $(a, b) \in Δ$ ，即 $a = b$

平行

若关系 $R$ 为平行， $X$ 为平面上直线构成的集，显然 $R$ 是 $X^{2}$ 的子集：

R = {((a, b) \in X^{2} | a 平 行 b)}

且其具有以下性质：

\begin{aligned} (1) & a R a & （ 反 身 性 ） \\ (2) & (a R b) \Rightarrow (b R a) & （ 对 称 性 ） \\ (3) & (a R b) \land (b R c) \Rightarrow (a R c) & （ 传 递 性 ） \end{aligned}

这样子，关系这个概念就比较好理解了吧。另外的，若一个关系具有以上三个性质（反身，对称，传递），就称其为等价关系，可以用符号 $\sim$ 表示。可以发现我们上面所说的对角线也是一种等价关系。

包含于

设 $M$ 是一个集合，对于 $M$ 的两个子集 $a$ 与 $b$ ,它们之间只有三种可能关系

$a \subset b$
$b \subset a$
$a ⊄ b \land b ⊄ a$

设 $X = P (M)$ 是 $M$ 的一切子集的全体。 $\subset$ 可以看作定义在 $X$ 上的一个关系。且此关系在以下性质：

\begin{aligned} (4) & a R a & （ 反 身 性 ） \\ (5) & (a R b) \Rightarrow (b R a) & （ 对 称 性 ） \\ (6) & (a R b) \land (b R a) \Rightarrow (a = b) & （ 反 对 称 性 ） \end{aligned}

这最后一个性质与平行不一样，称为反对称性，满足以上三个性质的关系被称为偏序关系

偏序关系若另外满足性质：

\forall a \forall b ((a R b) \lor (b R a))

即任二元素都可比较，则称其为序关系，定义了序关系的集合称为线性序集。

常见的序关系有 $\leq, \geq$ 等，实际上这也是“序”名称的由来。

重新严谨定义函数（映射）

前面说过，函数的重要特性是什么？唯一性。所以我们可以如此定义函数，若满足：

(x R y_{1}) \land (x R y_{2}) \Rightarrow (y_{1} = y_{2})

就称 $R$ 为函数关系

是的，函数也是一个关系， $y = f (x)$ 的意思其实是 $(x, y) \in R$ 。如此，我们就把函数定义在集合论上了。

尾声

函数的本质是研究变化，在我们的世界中，变化是普遍和美丽的。艾米诺特在1918年的一篇文章Invariante Variationsprobleme(不变变分问题)，被认为是理论物理的基石。我们应该学会用变化发展的眼光去发现科学。

函数

映射