开门见山

闭区间套引理(Cauchy-Cantor)

先来定义，再来定理。

定义

序列定义：以自然数为自变量的函数 $f : N \to X$ 叫做集合 $X$ 中的元素序列，简称序列。

元素是数，就叫数列，元素是集，就叫集列。

集列套定义：一集列 $X_{n}$ ，若 $\forall n \in N (X_{n} \supset X_{n + 1})$ ，就称其是集列套

对于任何闭区间集列套 $I_{n}$ ，存在一点 $c \in R$ ，使得 $c \in I_{n}$ 。

若 $| I n |$ 趋近于无穷小，那么 $c$ 便是唯一的。

一个是存在性，一个是唯一性，注意唯一性不一定满足。

覆盖定义：若 $S$ 是一集族， $Y \subset ⋃_{X \in S} X$ ，就说 $S$ 覆盖集合 $Y$

集族就是集合的集合，之前有提过哦。

在覆盖一个闭区间的任何开区间族中，存在这覆盖这一闭区间的有限子族。

意思差不多就是用有限个开区间肯定能覆盖一个闭区间。

首先要引入两个定义，这两个定义我们之后会经常使用。

邻域：含有点 $x \in R$ 的开区间，叫做 $x$ 的邻域；而开区间 $] x - δ, x + δ [$ 叫做点 $x$ 的 $δ$ 邻域。

极限点：若点 $p \in R$ 的任何邻域都包含 $X \in R$ 的一个无穷子集，就称点 $p$ 为集合 $X$ 的极限点。

这个条件也可等价于在点 $p$ 的任何邻域内，至少含有 $X$ 中的一个不与 $p$ 重合的点。