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实数集的公理推论上次我们讲了实数的公理系统，这次我们来聊聊公理的推论。讨论完这个，我们就可以畅所无阻的使用小学二年级的数学了（） 加法公理的推论1.实数集有唯一的零元$\blacktriangleleft$ 假设存在两个零元 $0_1,0_2,0_1 \neq 0_2$ ,那么 0_1 = 0_1+0_2 = 0_2+0_1 = 0_2矛盾，故原命题得证。$\blacktriangleright$ 2.实数集中每个元素有唯一的负元$\blacktriangleleft$ 假设 $x$ 存在两个负元 $x_1,x_2，x_1\neq x_2$ ,那么 x_1 = x_1 + 0 = x_1 + (x+x_2) = (x_1+x) + x_2 = 0 + x_2 = x_2得证了吧，用到的都是那四个公理。$\blacktriangleright$ 3.方程 $a+x = b$ 在 $R$ 中有唯一解 $x = b + (-a)$$\blacktriangleleft$ 我们这里就可以借助刚刚证明的推论2了 (a+x=b) \Leftrightarrow (a+(-a) ...

本来是想说说公理化集合论的，可是书是写得我也不完全理解，那就等以后其它的代数书再聊吧。 实数集的公理系统（这是我看张平老师视频的第一节课） 我们从小就开始数数，可是我们真的了解实数吗？我们现在就要从严谨的数学基础出发，重新刻画这个我们无比熟悉的老朋友。 实数的公理系统大致可以分为四块 加法公理 乘法公理 序公理 完备性公理（连续性公理）以及它们之间的交叉 这些内容可能看起来很简单，数学家就是这么一群人，把我们的常识给生吞活剥了才算完。我们也一个一个的剥吧 加法公理我们常说的加法，实际上是一个映射: +:R\times R\rightarrow R可以发现其满足以下四个性质： （中性元）有加法零元 $0,\forall x\in R$ x+0 = 0+x = x （逆元）$\forall x\in R,\exists -x\in R$,称为$x$的负元，有 x + (-x) = (-x) + x = 0 （给合律）$\forall x,y,z \in R$,有 x+(y+z) = (x+y)+z （交换律） $\forall x,y\in R$ x+y = y+x ...

集合卓里奇数学分析第一章§2内容 数学分析是建立在严谨的数理逻辑基础上的，而集合论就是描述这种严谨的重要工具。许多重要概念（包括函数）都可以通过集合来给出严谨的定义。 本文主要讲述朴素集合论，集合的公理系统会后面出一章提到。 集合的概念 “所谓集合，是我们直观感到或意识到的，由确定的，彼此不同的对象联合成的整体。” —— Cantor 这句话不能被称作定义，因为它引用到了比集合更复杂且从未定义过的概念。我在书上貌似也没有找到关于“集合”的确切定义。或许是因为它作为一种公理性的存在，不需要我们精确定义就能被很好理解。那我们先把定义放在一旁，回顾一下高中的知识并把它拓展到本书中。 集合的三个性质 无序性 确定性 互异性 我就不像之前教科书那样再举出几个例子仔细说明集合的概念了，这些东西应该大家都知道。还有“罗素悖论”，这个东西在讲到集合论公理系统中再讨论吧。 值得一提的是，在朴素集合论（就是我们现在讲的集合论）中，“类”，“族”，“集体”，“组”等字眼，也作为“集合”的同义词使用。如在覆盖概念中会用到的“集合的集合”（set of set），如果叫“集集”就有点难绷了，所以一般称之 ...

函数函数的概念很多书里（如同济版高数以及高中教科书等）都是先讲到“映射”，然后用“对映”的概念去描述映射， 可是这里有一个问题，即引入了“对映”这一从未定义过的复杂概念。所以更合理的方式，是用集合论去定义函数。我们先按书的顺序，用映射来描述一下。 映射设有二集合$X$,$Y$，按照某种规律$f$，对于$x\in X$，$\exists !y\in Y$ 与$x$对应，就称有定义在$X$上而在$Y$取值的映射。记为： f:X \rightarrow Y,or ,X\stackrel{f}{\longrightarrow} Y（!在这表示唯一，唯一性是映射的重要特性）其中$X$称映射的出发域，$y$称为映射的到达域。需要注意的是出发域不完全等于定义域，到达域也不完全等于值域 根据集合$X$，$Y$的性质的不同，映射有不同的名字：函数、变换、射、算子、泛函等。其中，函数表示数集到数集的映射，算子表示函数到函数的映射，泛函表示函数到数的映射。 满射，单射，双射映射的定义域、值域在出发域中取一集合$D$，$\forall x\in D$，都$\exists !y\in Y$ 与$x$对 ...

逻辑符号卓里奇数学分析第一章§1内容。 “如果采用适合于发现的记号，……那么，思考工作就能得到惊人的简化。” ——Leibniz“数学是把不同实体统一命名的艺术。” ——Poincaré“自然界这部巨著是用数学语言写成的。” —— Galileo 这些都是从书中摘录的，我觉得这些名言挺有启发性的，说明符号之于数学的重要性。数学分析的摩天大楼就建立在这些符号和逻辑之上。当然也不应该过度追求符号而抛弃了理解和效率。牛顿在十七十八世纪用微积分解决了许多物理问题，而微积分上数学的严谨性直到19世纪之后才得到了严格的证明。(物理win) “当你要求一只蜈蚣解释他是怎样控制那么多条腿的时候，他早已学会走路了。” 与、或、非、蕴含、等价五个基本逻辑符号就不用多说，我提一下他们的性质和规律。以及课后习题中一些逻辑规律，值得探究。 优先次序 \neg,\wedge,\vee,\Rightarrow,\Leftrightarrow定义符号 :=书中用了两个例子，第一个是引进定义： \int_{a}^{b}f(x)dx := \lim_{\lambda(P) \rightarrow 0} ...

一年多了距离上次我的博客更新已经一年多了了呀，我也是把我这域名续上把我的博客复活了。折腾了几个小时，可算能跑了，但还是提示不安全，我也不想管了，先凑合的用吧。 高考已经结束了一个多礼拜了，我好像也缓过来了。先去广州考了一个失败的考试，玩了几天就跑回家歇着了。有点累了，在家躺了好几天之后，准备开始学一点东西了。 先学数学分析吧，接下来我应该重心会放在数学和物理 上面，计算机算法之类的会先放在一边。 卓里奇真带劲。